如图,已知BC为半圆O的直径,AD⊥BC,垂足为D,BF交AD于E,且AE=BE.（1）求证：弧AB=弧AF；（2）如果sinFBC=三分之五,AB=4√5,求AD的长.
问题描述：
如图,已知BC为半圆O的直径,AD⊥BC,垂足为D,BF交AD于E,且AE=BE.（1）求证：弧AB=弧AF；
（2）如果sinFBC=三分之五,AB=4√5,求AD的长.
答
连接ac,连接af,则∠afb=∠acb,∵BC为半圆O的直径,AD⊥BC,垂足为D
∴∠adb=∠cab=90°∵∠adb=∠cba ∴△abd∽△cba ∴∠bad=∠bca ∵ ∠afb=∠acb
∴∠afb=∠bad ∵AE=BE ∴∠abf=∠bad ∴∠afb=∠abf∴弧AB=弧AF
如果sinFBC=三分之五?应该是五分之三吧?我按五分之三做了
∠fbc=90°-∠bed,∠bed=∠aef,∠aef=∠abd+∠bae,∠bae=∠abd
∴∠fbc=90°-2∠bad ∴sin∠fbc=sin（90°-2∠bad）=cos（2∠bad）=3/5
∴cos∠bad=2√5/5 ∵cos∠bad=ad/ab
∴ad=ab*cos∠bad=（4√5）*（2√5/5）=8