如图，已知△ABC，以BC为直径，O为圆心的半圆交AC于点F，点E为CF的中点，连接BE交AC于点M，AD为△ABC的角平分线，且AD⊥BE，垂足为点H． （1）求证：AB是半圆O的切线； （2）若AB=3，BC=4，求BE
问题描述：
如图，已知△ABC，以BC为直径，O为圆心的半圆交AC于点F，点E为
的中点，连接BE交AC于点M，AD为△ABC的角平分线，且AD⊥BE，垂足为点H．CF
（1）求证：AB是半圆O的切线；
（2）若AB=3，BC=4，求BE的长．
答
（1）证明：连接EC，
∵AD⊥BE于H，∠1=∠2，
∴∠3=∠4（1分）
∵∠4=∠5，
∴∠4=∠5=∠3，（2分）
又∵E为
的中点，CF
∴
=EF
，CE
∴∠6=∠7，（3分），
∵BC是直径，
∴∠E=90°，
∴∠5+∠6=90°，
又∵∠AHM=∠E=90°，
∴AD∥CE，
∴∠2=∠6=∠1，
∴∠3+∠7=90°，
又∵BC是直径，
∴AB是半圆O的切线；（4分）
（2）∵AB=3，BC=4，
由（1）知，∠ABC=90°，
∴AC=
=
AB2+BC2
=5（5分）
32+42
在△ABM中，AD⊥BM于H，AD平分∠BAC，
∴AM=AB=3，
∴CM=2（6分）
∵∠6=∠7，∠E为公共角，
∴△CME∽△BCE，得
=EC EB
=MC CB
=2 4
，（7分）1 2
∴EB=2EC，在Rt△BCE中，BE2+CE2=BC2，
即BE2+（
）2=42，BE 2
解得BE=
8 5
．（8分）
5