如图,已知△ABC,以BC为直径,O为圆心的半圆交AC于点F,点E为CF的中点,连接BE交AC于点M,AD为△ABC的角平分线,且AD⊥BE,垂足为点H. (1)求证:AB是半圆O的切线; (2)若AB=3,BC=4,求BE

问题描述:

如图,已知△ABC,以BC为直径,O为圆心的半圆交AC于点F,点E为

CF
的中点,连接BE交AC于点M,AD为△ABC的角平分线,且AD⊥BE,垂足为点H.

(1)求证:AB是半圆O的切线;
(2)若AB=3,BC=4,求BE的长.

(1)证明:连接EC,
∵AD⊥BE于H,∠1=∠2,
∴∠3=∠4(1分)
∵∠4=∠5,
∴∠4=∠5=∠3,(2分)
又∵E为

CF
的中点,
EF
=
CE

∴∠6=∠7,(3分),
∵BC是直径,
∴∠E=90°,
∴∠5+∠6=90°,
又∵∠AHM=∠E=90°,
∴AD∥CE,
∴∠2=∠6=∠1,
∴∠3+∠7=90°,
又∵BC是直径,
∴AB是半圆O的切线;(4分)
(2)∵AB=3,BC=4,
由(1)知,∠ABC=90°,
∴AC=
AB2+BC2
=
32+42
=5(5分)
在△ABM中,AD⊥BM于H,AD平分∠BAC,
∴AM=AB=3,
∴CM=2(6分)
∵∠6=∠7,∠E为公共角,
∴△CME∽△BCE,得
EC
EB
=
MC
CB
=
2
4
=
1
2
,(7分)
∴EB=2EC,在Rt△BCE中,BE2+CE2=BC2
即BE2+(
BE
2
2=42
解得BE=
8
5
5
.(8分)