如图,AB是圆O的直径,C是弧BD的中点,CE垂直AB垂足为E,BD交CE于点F(1)求证CF=BF2)若AD=2,圆O的半径为3,求BC的长

问题描述:

如图,AB是圆O的直径,C是弧BD的中点,CE垂直AB垂足为E,BD交CE于点F(1)求证CF=BF
2)若AD=2,圆O的半径为3,求BC的长

证明:(1)连接AC,如图
∵C是弧BD的中点
∴∠BDC=∠DBC(1分)
又∠BDC=∠BAC
在三角形ABC中,∠ACB=90°,CE⊥AB
∴∠BCE=∠BAC
∠BCE=∠DBC(3分)
∴CF=BF(4分)


作CG⊥AD于点G,
∵C是弧BD的中点
∴∠CAG=∠BAC,
即AC是∠BAD的角平分线.(5分)
∴CE=CG,AE=AG(6分)
在Rt△BCE与Rt△DCG中,
CE=CG,CB=CD
∴Rt△BCE≌Rt△DCG(HL)
∴BE=DG(7分)
∴AE=AB-BE=AG=AD+DG
即6-BE=2+DG
∴2BE=4,即BE=2(8分)
又△BCE∽△BAC
∴BC2=BE•AB=12(9分)
BC=±2根号3(舍去负值)
∴BC=2倍根号3

证明:
连接AC,则∠ACB=90°,易证∠BCF=∠BAC
∵C是弧BD的中点
∴弧BC=弧CD
∴∠BAC=∠CBF
∴∠CBF=∠BCF
∴BF=CF
连接OC,交BD于点M
∵C是弧BD的中点
∴OC⊥BD
则OM=1/2AD =1
∴CM =2
根据勾股定理BD=4√2
∴BM=2√2
∵CM=2
∴BC=2√3