已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为5,双曲线x2a−y2=1的左顶点为A,若双曲线的一条渐近线与直线AM平行,则实数a的值是( ) A.125 B.19 C.15 D.13
问题描述:
已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为5,双曲线
−y2=1的左顶点为A,若双曲线的一条渐近线与直线AM平行,则实数a的值是( )x2 a
A.
1 25
B.
1 9
C.
1 5
D.
1 3
答
根据题意,抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为5,则点M到抛物线的准线x=-
的距离也为5,p 2
即|1+
|=5,解可得p=8;即抛物线的方程为y2=16x,p 2
易得m2=2×8=16,则m=4,即M的坐标为(1,4)
双曲线
−y2=1的左顶点为A,则a>0,且A的坐标为(-x2 a
,0),
a
其渐近线方程为y=±
x;1
a
而KAM=
,4 1+
a
又由若双曲线的一条渐近线与直线AM平行,则有
=4 1+
a
,1
a
解可得a=
;1 9
故选B.