已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为5,双曲线x2a−y2=1的左顶点为A,若双曲线的一条渐近线与直线AM平行,则实数a的值是(  ) A.125 B.19 C.15 D.13

问题描述:

已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为5,双曲线

x2
a
y2=1的左顶点为A,若双曲线的一条渐近线与直线AM平行,则实数a的值是(  )
A.
1
25

B.
1
9

C.
1
5

D.
1
3

根据题意,抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为5,则点M到抛物线的准线x=-

p
2
的距离也为5,
即|1+
p
2
|=5,解可得p=8;即抛物线的方程为y2=16x,
易得m2=2×8=16,则m=4,即M的坐标为(1,4)
双曲线
x2
a
y2=1
的左顶点为A,则a>0,且A的坐标为(-
a
,0),
其渐近线方程为y=±
1
a
x;
而KAM=
4
1+
a

又由若双曲线的一条渐近线与直线AM平行,则有
4
1+
a
=
1
a

解可得a=
1
9

故选B.