已知:如图1,在△ABC中,∠ABC=45°,H是高AD、BE的交点.(1)求证:BH=AC;(2)若∠A改成钝角后,结论BH=AC还成立吗?若成立请证明,若不成立,请说明理由.
问题描述:
已知:如图1,在△ABC中,∠ABC=45°,H是高AD、BE的交点.
(1)求证:BH=AC;
(2)若∠A改成钝角后,结论BH=AC还成立吗?若成立请证明,若不成立,请说明理由.
答
知识点:本题考查了全等三角形的判定与性质.解答该题时,围绕结论寻找全等三角形,运用全等三角形的性质判定对应线段相等.
(1)证明:∵∠DAC+∠C=90°,∠EBC+∠C=90°,
∴∠DAC=∠EBC.
∵∠ABC=45°,
∴△ABD是等腰直角三角形.
∴AD=BD.
在△BDH和△ADC中
∠EBC=∠DAC BD=AD ∠BDH=∠ADC
∴△BDH≌△ADC(ASA).
∴BH=AC.
(2)如图,HB=AC仍然成立.
证明:∵∠H+∠HAE=90°,∠C+∠CAD=90°,
又∵∠HAE=∠DAC,
∴∠H=∠C.
∵∠ABC=45°,∠ADB=90°,
∴三角形ABD是等腰直角三角形.
∴AD=BD.
在△BDH和△ADC中
∠H=∠C ∠HDB=∠CDA BD=AD
∴△BDH≌△ADC(AAS).
∴BH=AC.
答案解析:(1)可通过全等三角形来证BH=AC,那么关键是证三角形ADC和BDH全等.已知的条件有一组直角,∠DAC和∠EBC都是∠C的余角,因此也相等,只要再证得一组对应边相等即可得出结论.我们发现∠ABC=45°,因此三角形ABD是等腰直角三角形,因此AD=BD,这样两三角形全等的所有条件就都凑齐了,即可得出BH=AC的结论.
(2)同(1)的方法完全相同,也是通过证明三角形HBD和ADC全等来证得.
考试点:全等三角形的判定与性质.
知识点:本题考查了全等三角形的判定与性质.解答该题时,围绕结论寻找全等三角形,运用全等三角形的性质判定对应线段相等.