如图,三棱锥P-ABC中,已知PA⊥平面ABC,PA=3,PB=PC=BC=6,求二面角P-BC-A的正弦值.

问题描述:

如图,三棱锥P-ABC中,已知PA⊥平面ABC,PA=3,PB=PC=BC=6,求二面角P-BC-A的正弦值.

取BC的中点D,连接PD,AD,
∵PB=PC,∴PD⊥BC
∵PA⊥平面ABC,由三垂线定理的逆定理得 AD⊥BC
∴∠PDA就是二面角P-BC-A的平面角
∵PB=PC=BC=6,∴PD=

3
2
×6=3
3

sin∠PDA=
PA
PD
3
3
3
3
3
  即二面角P-BC-A的正弦值是
3
3

答案解析:取BC的中点D,连接PD,AD,由等腰三角形三线合一,可得PD⊥BC,又由PA⊥平面ABC,结合三垂线定理的逆定理可得AD⊥BC,则∠PDA就是二面角P-BC-A的平面角,解三角形PDA,即可求出二面角P-BC-A的正弦值.
考试点:二面角的平面角及求法.

知识点:本题考查的知识点是二面角的平面角及求法,其中由三垂线定理得到∠PDA就是二面角P-BC-A的平面角,将二面角问题转化为解三角形问题是解答本题的关键.