已知在三角形A,B,C中,AB=2,BC=4,角ABC=120°.平面内ABC外一点P满足PA=PB=PC=4,则三棱锥P-ABC的体积是

问题描述:

已知在三角形A,B,C中,AB=2,BC=4,角ABC=120°.平面内ABC外一点P满足PA=PB=PC=4,则三棱锥P-ABC的体积是

那根三棱锥的高是三角形ABC的外心与P的连线,

因为PA=PB=PC=4,
所以点P在平面ABC的射影为三角形ABC的外心O,
因为AB=2,BC=4,∠ABC=120°,
根据c^2=a^2+b^2-2ab*cosC可得AC=2√7,
所以OA=OB=OC=R=AC/2*sin∠ABC=2√21/3,
则三棱锥的高PO=√(PA^2+OA^2)=2√57/3,
所以三棱锥P-ABC的体积为(1/3)*S△ABC*PO=(1/3)*(1/2)*AB*BC*sin∠ABC*PO=4√19/3