已知圆 O：x2+y2=4，圆内有定点P（1，1），圆周上有两个动点A，B，使PA⊥PB，则AB的中点Q的轨迹方程为_．

分类: 作业答案 • 2022-05-31 20:51:28

问题描述：

已知圆 O：x²+y²=4，圆内有定点P（1，1），圆周上有两个动点A，B，使PA⊥PB，则AB的中点Q的轨迹方程为______．

答

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点Q（x，y），
则x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，
又P（1，1），且PA⊥PB，
∴

|AB|

=|PQ|，即|AB|²=4|PQ|²，
则(x1-y1)2+(x2-y2)2=4(x-1)2+4(y-1)2．
整理得：x12+y12+x22+y22-2(x1y1+x2y2)=4(x-1)2+4(y-1)2 ①
又∵点A、B在圆上，∴x12+y12=x22+y22=4 ②
再由PA⊥PB，得

•

=0，即（x₁-1）（x₂-1）+（y₁-1）（y₂-1）=0．
整理得：x₁x₂+y₁y₂-（x₁+x₂）-（y₁+y₂）+2=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=2x+2y-2 ③
把②③代入①得：(x-

)2+(y-

)2=

．
∴AB的中点Q的轨迹方程为(x-

)2+(y-

)2=

．
故答案为：(x-

)2+(y-

)2=

．