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在数列{an}中，a1=2，an+1=an+ln（1+1/n），则an= _ ．

分类: 作业答案 • 2022-05-31 16:21:03
问题描述：

在数列{an}中，a1=2，an+1=an+ln（1+

1
n
），则an= ___ ．

答

a1=2+ln1，
a2=2+ln2，
a3=2+ln2+ln

3
2
=2+ln3，
a4=2+ln3+ln
4
3
=2+ln4，
由此猜想an=2+lnn．
用数学归纳法证明：
①当n=1时，a1=2+ln1，成立．
②假设当n=k时等式成立，即ak=2+lnk，
则当n=k+1时，ak+1=ak+ln(1+
1
k
)=2+lnk+ln
k+1
k
=2+ln（k+1）．成立．
由①②知，an=2+lnn．
故答案为：2+lnn．

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