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过抛物线y2=2x的对称轴上的定点M（m，0），（m＞0），作直线AB交抛物线于A，B两点．（1）试证明A，B两点的纵坐标之积为定值；（2）若△OAB的面积的最小值为4，求m的值．

分类: 作业答案 • 2022-05-21 13:51:05
问题描述：

过抛物线y2=2x的对称轴上的定点M（m，0），（m＞0），作直线AB交抛物线于A，B两点．
（1）试证明A，B两点的纵坐标之积为定值；
（2）若△OAB的面积的最小值为4，求m的值．

答

（1）设lAB：x=ty+m代入y2=2x得y2-2ty-2m=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）
△=4t2+8m＞0，y1+y2=2t，y1y2=-2m
∵m为常数∴y1•y2=-2m为定值
（2）S△OAB＝S△OAM+S△OBM＝

1
2
m|y1|+
1
2
m|y2|＝
m
2
|y1−y2|=
m
2
 (y1+y2)2−4y1y2
=
m
2
 4t2+8m
≥
m
2
 8m
＝4
∴
m
2
 8m
＝4⇒m＝2
答案解析：（1）设lAB：x=ty+m代入y2=2x得y2-2ty-2m=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）从而可得，y1y2=-2m
（2）由于S△OAB＝S△OAM+S△OBM＝
1
2
m|y1|+
1
2
m|y2|＝
m
2
|y1−y2|ll=
m
2
 (y1+y2)2−4y1y2
，结合方程的根与系数的关系及二次函数的性质可求m
考试点：直线与圆锥曲线的综合问题．

知识点：本题主要考查了直线与曲线位置关系的应用，常联立方程组转化为方程的根与系数的关系，而弦长公式|y1−y2|＝
 (y1+y2)2−4y1y2
的应用是解决本题的关键

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