已知抛物线y2=2x,过点Q(2,1)作一条直线交抛物线于A.B两点,试求弦AB中点的轨迹方程1已知抛物线y^2=2x,过点Q(2,1)作一条直线交抛物线于A.B两点,试求弦AB中点的轨迹方程2已知曲线方程为(k-1)x^2=x+ky,证明无论k取何值,曲线都经过两个定点,并求出定点的坐标.3已知P是椭圆x2/9+y2/4=1上的点,求点P到直线x+2y-10=0的距离的最大值

问题描述:

已知抛物线y2=2x,过点Q(2,1)作一条直线交抛物线于A.B两点,试求弦AB中点的轨迹方程
1已知抛物线y^2=2x,过点Q(2,1)作一条直线交抛物线于A.B两点,试求弦AB中点的轨迹方程
2已知曲线方程为(k-1)x^2=x+ky,证明无论k取何值,曲线都经过两个定点,并求出定点的坐标.
3
已知P是椭圆x2/9+y2/4=1上的点,求点P到直线x+2y-10=0的距离的最大值

提示一下:用点差法最简单。
令A(x1,y1),B(x2,y2),中点P(x0,y0)
那么 y1^2=2x1
y2^2=2x2
相减得到:
(y1-y2)(y1+y2)=2(x1-x2)
直线AB的斜率为k=(y1-y2)/(x1-x2)=2/(y1+y2)
易知:y1+y2=2y0
即 k=1/y0
又斜率k=(y0-1)/(x0-2)
故 (y0-1)/(x0-2) =1/y0
那么 x0=y0^2-y0+2
所以轨迹方程:x=y^2-y+2

1,设A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点P(x0,y0),则:
将A,B坐标代入抛物线方程得:
y1²=2x1……①
y2²=2x2……②
①-②得:(y1-y2)(y1+y2)=2(x1-x2),
则,直线AB斜率:k=(y1-y2)/(x1-x2)=2/(y1+y2)=1/y0
又,Q(2,1)在AB上,则:k=(y0-1)/(x0-2)
即:1/y0=(y0-1)/(x0-2),整理得:y0²-y0+2=x0
即:AB中点的轨迹为:y²-y+2=x(抛物线)
2,整理曲线方程(k-1)x²=x+ky,得:k(x²-y)-x²-x=0
则,原曲线方程是:经过x²-y=0……③和x²+x=0……④交点的曲线系方程.
联立③,④,解方程组得:x=0,y=0,或x=-1,y=1
即:原曲线方程必过点(0,0),(-1,1)
3,整理x²/9+y²/4=1,得:x²/3²+y²/2²=1
设点P的作标为(3cosα,2sinα)
点P到直线距离:h=|3cosα+4sinα-10|/√5
由辅助角公式acosx+bsinx=√(a²+b²)(acosx/√(a²+b²)+bsinx/√(a²+b²)),
h=|5[(3/5)cosα+(4/5)sinα]-10|/√5=|5sin(α+β)-10|/√5,(β= arctan(3/4))
h最大=|-5-10|/√5=3√5