对于函数f(x),若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立,则称点(x0,x0)为函数的不动点,对于任意实数b,函数f(x)=ax2+bx-b总有相异不动点,实数a的取值范围是 ___ .

问题描述:

对于函数f(x),若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立,则称点(x0,x0)为函数的不动点,对于任意实数b,函数f(x)=ax2+bx-b总有相异不动点,实数a的取值范围是 ___ .

由题意可得)函数f(x)=ax2+bx-b总有两个相异的不动点,
即关于x的方程f(x)=x有两个不等根.
化简f(x)=x得到ax2+(b-1)x-b=0.
所以(b-1)2+4ab>0,即b2+(4a-2)b+1>0恒成立,
所以(4a-2)2-4<0.
解之得:0<a<1
故答案为:0<a<1
答案解析:函数f(x)=ax2+bx-b总有两个相异的不动点,则方程ax2+bx-b=x有两个相异的实根,由此可以构造出一个不等式,结合函数的性质,解不等式即可得到a的范围.
考试点:二次函数的性质.
知识点:本题考查的知识点是二次函数的性质,其中根据二次函数、二次方程、二次不等式之间的关系,将函数问题转化为不等式或方程问题是解答本题的关键.