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△ABC的三边a、b、c和面积S满足关系式：S=c2-（a-b）2且a+b=2，求面积S的最大值．

分类: 作业答案 • 2022-05-08 09:00:43
问题描述：

△ABC的三边a、b、c和面积S满足关系式：S=c2-（a-b）2且a+b=2，求面积S的最大值．

答

由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC及面积公式S=

1
2
absinC代入条件得
S=c2-（a-b）2=a2+b2-2abcosC-（a-b）2，即
1
2
absinC=2ab（1-cosC），
∴
1−cosC
sinC
=
1
4
，令1-cosC=k，sinC=4k（k＞0）
由（1-k）2+（4k）2=cos2C+sin2C=1，得k=
2
17
，
∴sinC=4k=
8
17

∵a＞0，b＞0，且a+b=2，
∴S=
1
2
absinC=
4
17
ab≤
4
17
•
(a+b)2
2
=
8
17
，当且仅当a=b=1时，Smax=
8
17
．

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