为什么两个n阶方阵的特征多项式相等,他们的行列式就相等?
问题描述：
为什么两个n阶方阵的特征多项式相等,他们的行列式就相等?
答
特征多项式相等说明他们有相同的特征值,而矩阵的行列式=所有特征值的乘积矩阵的行列式为什么等于所有特征值的乘积呀？虽然我晓得：如果矩阵相似于对角阵，则说明有P^(-1)AP=diag(特征值1,2,3...）则|P^(-1)AP|=|A|=特征值乘积但这个矩阵要不相似于对角阵呢，就不能这样的推吧？|λE-A|=|λ-a11-a12...-a1n||-a21 λ-a22....-a2n||....................||-an1 -an2....λ-ann|=(λ-λ1)(λ-λ2)...(λ-λn)λ^n-(a11+a22+...+ann)λ^(n-1)+...+(-1)|A|=λ^n-(λ1+λ2+...+λn)λ^(n-1)+...+(-1)λ1λ2...λn比较同次幂的系数可得结论