求特征值时行列式化简到特征多项式有什么具体的简单方法吗?

求特征值时行列式化简到特征多项式有什么具体的简单方法吗?
直接展开时 最后化特征多项式总是不知道什么时候提取哪个多项式?
初等变换有什么简单的方法么?经常容易化简错,化简时步骤繁琐,经常带着一个分母是一个多项式,分子是几个多项式相乘的式子才能化成主对角线的行列式,还有其他方法吗?化简成正三角的行列式时答案总不对,会有什么化简行列式时经常容易忘注意的地方吗?
举个我化简时的例子：
x-1 -2 -2
-2 x-1 -2
-2 -2 x-1
我用的步骤是先把第2行减去第3行,然后第2列减去第3列；
第1行乘以2/(x-1)加到第2行,然后第1列乘以2/(x-1)加到第2列；
第2行乘以-(x-1)/(x-3)加到第3行,然后第2列乘以-(x-1)/(x-3)加到第3列；
最后得
x-1 0 0
0 (x+1)(x-3)/(x-1) 0
0 0 [-(x-1)(x+1)/(x-3)]+2x+2
主对角线相乘再约分才能得出答案.