在△ABC中,cos2A2=b+c2c(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则△ABC的形状为______.

问题描述:

在△ABC中,cos2

A
2
=
b+c
2c
(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则△ABC的形状为______.

在△ABC中,∵cos2

A
2
=
b+c
2c

1+cosA
2
=
sinB+sinC
2sinC
=
1
2
sinB
sinC
+
1
2

∴1+cosA=
sinB
sinC
+1,
∴cosAsinC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,
∴sinAcosC=0,sinA≠0,
∴cosC=0,
∴C为直角.
故答案为:直角三角形.
答案解析:在△ABC中,利用二倍角的余弦与正弦定理可将已知cos2
A
2
=
b+c
2c
转化为1+cosA=
sinB
sinC
+1,整理即可判断△ABC的形状.
考试点:三角形的形状判断.
知识点:本题考查三角形的形状判断,着重考查二倍角的余弦与正弦定理,诱导公式的综合运用,属于中档题.