已知函数f(x)=ax+1/x+2,a∈Z,是否存在整数a,使函数f(x)在x∈[-1,+∞)上递减,并且f(x)不恒为负?若存在,找出一个满足条件的a,若不存在,请说明理由.

问题描述:

已知函数f(x)=

ax+1
x+2
,a∈Z,是否存在整数a,使函数f(x)在x∈[-1,+∞)上递减,并且f(x)不恒为负?若存在,找出一个满足条件的a,若不存在,请说明理由.

∵f(x)=

ax+1
x+2
=
a(x+2)+1−2a
x+2
=a+
1−2a
x+2

∴要使函数f(x)在x∈[-1,+∞)上递减,
则1-2a>0,此时a
1
2

要使f(x)不恒为负,
即f(x)=
ax+1
x+2
≥0在∈[-1,+∞)有解,
当a=0时,f(x)=
ax+1
x+2
=
1
x+2
,此时f(0)=
1
2
>0

满足f(x)不恒为负,
∴当a=0时,满足条件.