已知幂函数f(x)=x(2-k)(1+k)(k∈Z)满足f(2)<f(3).(1)求实数k的值,并写出相应的函数f(x)的解析式;(2)对于(1)中的函数f(x),试判断是否存在正数m,使函数g(x)=1-mf(x)+(2m-1)x,在区间[0,1]上的最大值为5.若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
已知幂函数f(x)=x(2-k)(1+k)(k∈Z)满足f(2)<f(3).
(1)求实数k的值,并写出相应的函数f(x)的解析式;
(2)对于(1)中的函数f(x),试判断是否存在正数m,使函数g(x)=1-mf(x)+(2m-1)x,在区间[0,1]上的最大值为5.若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
(1)对于幂函数f(x)=x(2-k)(1+k)满足f(2)<f(3),
因此(2-k)(1+k)>0,
解得-1<k<2,
因为k∈Z,
所以k=0,或k=1,
当k=0时,f(x)=x2,
当k=1时,f(x)=x2,
综上所述,k的值为0或1,f(x)=x2.
(2)函数g(x)=1-mf(x)+(2m-1)x
=-mx2+(2m-1)x+1,
因为要求m>0,因此抛物线开口向下,
对称轴x=
,2m−1 2m
当m>0时,
=1-2m−1 2m
<1,1 2m
因为在区间[0,1]上的最大值为5,
所以
或
1−
>01 2m g(1−
)=51 2m
1−
≤01 2m g(0)=5
解得m=
+5 2
满足题意.
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答案解析:(1)对于幂函数f(x)=x(2-k)(1+k)满足f(2)<f(3),代入结合k∈Z可求k的值
(2)由(1)可得函数g(x)=1-mf(x)+(2m-1)x=-mx2+(2m-1)x+1,由m>0,因此抛物线开口向上,对称轴x=
<1,若函数在区间[0,1]上的最大值为5,2m−1 2m
则
或
1−
>01 2m g(1−
)=51 2m
解方程可求m
1−
≤01 2m g(0)=5
考试点:指数函数综合题.
知识点:本题主要考查了幂函数的定义的应用,二次函数在闭区间上的最值的求解,注意分类讨论思想在解题中的应用.