已知函数f(x)=ax+1x+2,a∈Z,是否存在整数a,使函数f(x)在x∈[-1,+∞)上递减,并且f(x)不恒为负?若存在,找出一个满足条件的a,若不存在,请说明理由.
问题描述:
已知函数f(x)=
,a∈Z,是否存在整数a,使函数f(x)在x∈[-1,+∞)上递减,并且f(x)不恒为负?若存在,找出一个满足条件的a,若不存在,请说明理由. ax+1 x+2
答
∵f(x)=
=ax+1 x+2
=a+a(x+2)+1−2a x+2
,1−2a x+2
∴要使函数f(x)在x∈[-1,+∞)上递减,
则1-2a>0,此时a<
,1 2
要使f(x)不恒为负,
即f(x)=
≥0在∈[-1,+∞)有解,ax+1 x+2
当a=0时,f(x)=
=ax+1 x+2
,此时f(0)=1 x+2
>0,1 2
满足f(x)不恒为负,
∴当a=0时,满足条件.
答案解析:根据分式函数的性质,根据x)在x∈[-1,+∞)上递减求出a的取值范围,然后根据条件验证条件f(x)不恒为负是否成立即可得到结论.
考试点:函数单调性的性质.
知识点:本题主要考查分式函数的图象和性质,利用分子常数化是解决分式函数问题的基本方法.