如图1,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,有一过点C的动圆O与斜边AB相切于动点P,连接CP.
问题描述：
如图1,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,有一过点C的动圆O与斜边AB相切于动点P,连接CP.
（1）当圆O与直角边AC相切时,如图2所示,求此时圆O的半径r的长.
（2）随着切点P的位置不同,弦CP的长也会发生变化,试求出弦CP的长的取值范围.
（3）当切点P在何处时,圆O的半径r有最大值?试求出这个最大值.
答
⑴AB=5,AC、AP都是圆的,圆心在BC上,AP=AC=3,∴PB=2,
过P作PQ⊥BC于Q,PQ/PB=BQ/BC=AC/AB=3/5,∴PQ=6/5,BQ=8/5,
∴CQ=BC-BQ=12/5,∴PC=√(PQ^2+CQ^2)=6√5/5,
过O作OR⊥PC于R,CR=1/2PC=3√5/5,
又OC/CR=PC/CQ,OC=3/2,即r=3/2.
⑵最短PC为AB边上的高：12/5,最大PC=BC=4,
∴12/5≤PC≤4
⑶当P与B重合时,圆最大.这时,O在BD的垂直平分线上,
过O作OD⊥BC于D,由BD=1/2BC=2,
∵AB是切线,∴∠ABO=90°,
∴∠ABD+∠OBD=∠BOD+∠OBD=90°,∴∠ABC=∠BOD,
∴BD/OB=sin∠BOD=sin∠ABC=BC/AB=4/5,
∴OB=5/2.
即半径最大值为5/2.