如图,三棱锥V-ABC中,VA=VB=AC=BC=2,AB=23,VC=1.(Ⅰ)证明:AB⊥VC;(Ⅱ)求三棱锥V-ABC的体积.

问题描述:

如图,三棱锥V-ABC中,VA=VB=AC=BC=2,AB=2

3
,VC=1.

(Ⅰ)证明:AB⊥VC;
(Ⅱ)求三棱锥V-ABC的体积.

证明:(Ⅰ)取AB的中点为D,连接VD,CD.
∵VA=VB,∴AB⊥VD;同理AB⊥CD.
于是AB⊥平面VDC.又VC⊂平面VDC,故AB⊥VC.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知AB⊥平面VDC.
由题设可知VD=CD=1,又VC=1,DB=

3
.CD=VD=
22−(
3
)2
=1,S△VDC
1
2
×1×
3
2

故三棱锥V-ABC的体积等于
1
3
S△VDC•BA
=
1
3
×(
1
2
×1×
3
2
)×2
3
1
2

答案解析:(Ⅰ)通过证明直线AB⊥平面VDC,然后证明AB⊥VC;
(Ⅱ)求三棱锥V-ABC的体积.
考试点:直线与平面垂直的性质;棱柱、棱锥、棱台的体积.
知识点:本题考查直线与平面的垂直的性质定理以及棱锥体积的求法,考查逻辑思维能力与计算能力.