已知P(4,0)是圆x^2+y^2=36内的一点,A、B是圆上动点,满足角APB=90°,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程

问题描述:

已知P(4,0)是圆x^2+y^2=36内的一点,A、B是圆上动点,满足角APB=90°,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程
设AB的中点为R,坐标为(x,y),则在Rt△ABP中,|AR|=|PR|.
又因为R是弦AB的中点,依垂径定理:在Rt△OAR中,|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-(x2+y2)
又|AR|=|PR|=根号(x-4)2+y2
所以有(x-4)2+y2=36-(x2+y2),即x2+y2-4x-10=0
因此点R在一个圆上,而当R在此圆上运动时,Q点即在所求的轨迹上运动.
设Q(x,y),R(x1,y1),因为R是PQ的中点,所以x1=(x+4)/2 ,y1=(y+0)/2
代入方程x2+y2-4x-10=0,得
((x+4)/2)2+(y/2)2-4*(x+4)/2-10=0
整理得:x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程
又|AR|=|PR|=根号(x-4)2+y2 看不懂?

|AR|=|PR|这不用解释 了吧?
P的坐标是(4,0),R的坐标是(x,y),
所以P、R两点的距离,也就是
|PR|= √(x-4)²+(y-0)² = √(x-4)²+y²
这个用向量的模也可以解释的.谢谢 那|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-(x2+y2)怎么来的?|AR|² = |OA|² - |OR|²用的是勾股定理。因为|OA|是半径,所以|OA|² = 36。因为R的坐标为(x,y),原点O的坐标为(0,0),所以|OR|² =( x-0)²+(y-0)²=x²+y²