△ABC一边AB固定,顶点C在一条平行于AB的定直线l上移动,设△ABC的垂心在三角形内,求垂心的轨迹方程

问题描述:

△ABC一边AB固定,顶点C在一条平行于AB的定直线l上移动,设△ABC的垂心在三角形内,求垂心的轨迹方程

以AB中点为圆心的半圆

建立直角坐标系,把AB放在x轴上,且关于原点对称,设A(a,0),B(-a,0),因为C在y=b上移动,可设C点坐标为(x1,b),则可由“两点式”求出AC的方程,整理后为:y=bx/(x1+2)+2b/(x1+2),
设BD垂直AC于D,CE垂直AB(即x轴)于E,BD、CE交于P,P即垂心
因为BD垂直AC,所以直线BD的斜率K满足,K×b/(x1+2)=-1,解出K=-(x1+2)/b,再根据B点坐标,求出BD方程,整理得到:by=(-x1+2)x+2x+b+1,CE的方程为x=x1,这两个方程联列,消去x1,得到y=(b+1- x的平方)/b,所以是抛物线.