以双曲线的焦点为圆心,实轴长为半径的圆与双曲线的渐近线相切,则双曲线的离心率为(  )A. 5B. 5C. 2D. 2

问题描述:

以双曲线的焦点为圆心,实轴长为半径的圆与双曲线的渐近线相切,则双曲线的离心率为(  )
A.

5

B. 5
C.
2

D. 2

不妨设双曲线的方程为:x2a2−y2b2=1,双曲线的一条渐近线方程为y=bax,即bx-ay=0∵以双曲线的焦点为圆心,实轴长为半径的圆与双曲线的渐近线相切∴|bc| b2+a2 =2a∴b2c2=4a2(b2+a2)∴(c2-a2)c2=4a...
答案解析:不妨设双曲线的方程为:

x2
a2
y2
b2
=1,双曲线的一条渐近线方程为y=
b
a
x
,即bx-ay=0,根据以双曲线的焦点为圆心,实轴长为半径的圆与双曲线的渐近线相切,可建立方程,从而得解.
考试点:双曲线的简单性质.
知识点:本题以双曲线为载体,考查圆与双曲线的渐近线相切,考查双曲线的几何性质,正确运用直线与圆相切是关键.