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若双曲线x2a2−y23＝1的一条渐近线被圆（x-2）2+y2=4所截得的弦长为2，则该双曲线的实轴长为（　　）A. 1B. 2C. 3D. 6

分类: 作业答案 • 2023-01-24 00:19:37
问题描述：

若双曲线

x2
a2
−
y2
3
＝1的一条渐近线被圆（x-2）2+y2=4所截得的弦长为2，则该双曲线的实轴长为（　　）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 6

答

设双曲线x2a2−y23＝1的一条渐近线为y=3ax，把y=3ax代入圆（x-2）2+y2=4，并整理，得(3a2+1) x2−4x＝0，x1+x2＝43a2+1，x1x2＝0，∴(3a2+1)(16(3a2+1)2) ＝2，解得a2=1，∴2a=2．故该双曲线的实轴长为2．...
答案解析：设双曲线

x2
a2
−
y2
3
＝1的一条渐近线为y=
 3
a
x，把y=
 3
a
x代入圆（x-2）2+y2=4，并整理，得(
3
a2
+1) x2−4x＝0，x1+x2＝
4
3
a2
+1
，x1x2＝0，进而可得
 (
3
a2
+1)(
16
(
3
a2
+1)2
) 
＝2，由此能够求出该双曲线的实轴长．
考试点：双曲线的简单性质；直线与圆相交的性质．
知识点：本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理选用．

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