过双曲线x2a2−y2b2=1 (a>0 ,b>0)的左焦点,且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点,以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率等于(  ) A.3 B.32 C.2 D.43

问题描述:

过双曲线

x2
a2
y2
b2
1 (a>0 ,b>0)的左焦点,且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点,以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率等于(  )
A. 3
B.
3
2

C. 2
D.
4
3

由题意,当x=-c时,y=±

b2
a

∵以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,
b2
a
=a+c

∴c2-a2=a(a+c)
∴c-a=a
∴c=2a
∴e=
c
a
=2

故选C.