过标准型双曲线的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点,以MN为直径的圆恰好过双曲线的右焦点,求双曲线离心率.
问题描述：
过标准型双曲线的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点,以MN为直径的圆恰好过双曲线的右焦点,求双曲线离心率.
答
设双曲线的方程为 x^2/a^2-y^2/b^2=1 ,
则左焦点F1（-c,0）,
把 x=-c 代入双曲线方程,解得 M（-c,b^2/a）,N（-c,-b^2/a）,
所以 |MN|=2b^2/a,
因为 以MN为直线的圆过右焦点F2（c,0）,
所以 |F1F2|=|MN|/2 ,即 2c=b^2/a,
所以 2ac=b^2=c^2-a^2,
两边同除以 a^2 得 2e=e^2-1,
解得 e=(2+√5)/2 .哦，对不起，我解错了。以下正解。e^2-2e-1=0e^2-2e+1=2(e-1)^2=2e-1=±√2e=1+√2(舍去1-√2，因为双曲线离心率>1)。