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已知A、B、C是锐角，求证：cosA+cosB+cosC=1+4sinA/2sinB/2sinC/2的充要条件是A+B+C=π．

分类: 作业答案 • 2022-03-20 10:14:40
问题描述：

已知A、B、C是锐角，求证：cosA+cosB+cosC=1+4sin

A
2
sin
B
2
sin
C
2
的充要条件是A+B+C=π．

答

cosA+cosB+cosC=1+4sin

A
2
sin
B
2
sin
C
2

⇔2cos
A+B
2
cos
A−B
2
＝2sin2
C
2
+2sin
C
2
(−cos
A+B
2
+cos
A−B
2
)
⇔cos
A+B
2
cos
A−B
2
＝sin2
C
2
−sin
C
2
cos
A+B
2
+sin
C
2
cos
A−B
2

⇔0＝sin
C
2
(sin
C
2
−cos
A+B
2
)+(sin
C
2
−cos
A+B
2
)cos
A−B
2

⇔0＝(sin
C
2
−cos
A+B
2
)(sin
C
2
+cos
A−B
2
)
∵A、B、C是锐角，∴sin
C
2
+cos
A−B
2
＞0
所以上式⇔0＝sin
C
2
−cos
A+B
2

⇔
C
2
+
A+B
2
＝
π
2
⇔A+B+C=π

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