已知ABCD-A1B1C1D1为正方体,p为棱dd1的中点.求证平面AB1C垂直平面PAC如题,详细过程
问题描述：
已知ABCD-A1B1C1D1为正方体,p为棱dd1的中点.求证平面AB1C垂直平面PAC
如题,详细过程
答
平面AB1C与平面PAC的交线为AC,取AC的中点E,连接EB1、EP、EB和ED,显然E为正方形ABCD对角线的交点,EB=ED
∵△AB1C为等腰三角形,∴EB1⊥AC
∵ED/DP=√2=BB1/EB,∴直角三角形PDE∽直角三角形EBB1,
∵三角形相似,∴∠PED+∠B1EB=∠EB1B+∠B1EB=90°,∴∠PEB1=180°-(∠PED+∠B1EB)=90°,即EB1⊥PE
∵EB1⊥AC且EB1⊥PE,∴EB1⊥平面PAC
∵平面AB1C上线段EB1垂直于平面AB1C与平面PAC的交线AC,并且垂直于平面PAC,
∴平面AB1C⊥平面PAC