在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为DD1、DB的中点. 求(1)求证EF//平面ABC1D1 (2)求证EF垂直于B1C (3)求三棱锥B1-EFC的体积采用空间直角坐标系怎么写?

问题描述:

在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为DD1、DB的中点. 求(1)求证EF//平面ABC1D1
(2)求证EF垂直于B1C (3)求三棱锥B1-EFC的体积采用空间直角坐标系怎么写?

连接BD 在三角形DBD1中,E是DD1的中点,F是DB的中点,所以EF平行于BD,BD在平面ABC1D1中,所以EF平行于平面ABC1D1

(1)连结EF、连结BD1,可以看出EF是三角形BDD1的中位线,所以EF平行BD1,由线面平行的判定定理可得EF//平面ABC1D1 。
(2)建立空间直角坐标系,用空间向量的方法做,很简单的。

证明:1.连接BD1
在△BDD1中,∵EF分别为DD1、DB的中点,∴EF//D1B.
∵D1B∈面ABC1D1,∴EF//平面ABC1D1
2.连接BC1
∵□ABCD-A1B1C1D1为正方体,∴D1C1⊥面BCC1B1.
∵B1C面BCC1B1,∴D1C1⊥B1C.
∵BCC1B1为正方形,∴BC1⊥B1C.
∵D1C1,BC1∈面ABC1D1,∴B1C⊥面 ABC1D1
.∵BD1∈面ABC1D1 ,∴B1C ⊥BD1.
又∵EF//D1B,∴EF垂直于B1C

第一题:作一条辅助线,“连接D1B ”,在平面DD1B内,EF//D1B,D1B属于平面ABC1D1 因此得证。

第二题:因为EF//BD,D1C1垂直于平面BB1C1C。所以D1B在平面BB1C1C的投影是BC1.
因为BC1垂直于C1B,由射影定理 故得证
总之,记住,当你没思路的时候第一题的结论可能是对你的提示。 要高考了,祝你考试顺利!两年没做数学题了,语言不规范,希望能给你帮助。