已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,点P为DD1的中点,求证平面PAC⊥平面BDD1

问题描述:

已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,点P为DD1的中点,求证平面PAC⊥平面BDD1

AC和BD是正方形ABCD的对角线,所以AC垂直BD,
因为DD1垂直DC,DD1也垂直DA,所以DD1垂直平面ABCD,所以DD1垂直AC,
所以AC垂直平面BDD1,因此平面PAC垂直平面BDD1

证明:由题可得长方体中 DD1⊥面ABC 又AC属于面ABC DD1⊥AC
∵AB=AD ∴在正方形ABCD中 易得AC⊥BD
则有 AC⊥BD
AC⊥DD1
BD∩DD1于D
且BD属于面BDD1 DD1属于面BDD1
∴AC⊥面BDD1 又AC属于面PAC
故面PAC⊥面BDD1 综上所述