定义域为R的偶函数f(x)满足对任意x∈R,有f(x+2)=f(x)-f(1),且当x∈[2,3]时,f(x)=-2x2+12x-18,若函数y=f(x)-loga(x+1)在(0,+∞)上至少有三个零点,则a的取值范围是(  )A. (0,33)B. (0,22)C. (0,55)D. (0,66)

问题描述:

定义域为R的偶函数f(x)满足对任意x∈R,有f(x+2)=f(x)-f(1),且当x∈[2,3]时,f(x)=-2x2+12x-18,若函数y=f(x)-loga(x+1)在(0,+∞)上至少有三个零点,则a的取值范围是(  )
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∵f(x+2)=f(x)-f(1),令x=-1,则f(1)=f(-1)-f(1),∵f(x)是定义在R上的偶函数,∴f(1)=0.∴f(x)=f(x+2),则函数f(x)是定义在R上的,周期为2的偶函数,又∵当x∈[2,3]时,f(x)=-2x2+12x-18...
答案解析:由题意可判断函数f(x)是定义在R上的,周期为2的偶函数,令g(x)=loga(x+1),画出f(x)与g(x)在[0,+∞)的部分图象如下图,将y=f(x)-loga(x+1)在(0,+∞)上至少有三个零点可化为f(x)与g(x)的图象在(0,+∞)上至少有三个交点,从而解出a的取值范围.
考试点:根的存在性及根的个数判断.
知识点:本题考查了数形结合的思想,同时考查了学生的作图能力与转化能力,属于基础题.