高二的圆的方程已知定义域为[0,1]的函数f(x)满足:①对任意x∈[0,1],总有f(x)≥ 0；②f(1)=1;③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1 ,则有f(x1+x2)≥ f(x1)+f(x2)(1)求f(x)最大值(2)试证明：当x∈(1/2,1]时,f(x)〈2x,当x∈[0,1/2]时f(x)≤1/2*f(2x)
问题描述：
高二的圆的方程
已知定义域为[0,1]的函数f(x)满足:①对任意x∈[0,1],总有f(x)≥ 0；②f(1)=1;③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1 ,则有f(x1+x2)≥ f(x1)+f(x2)
(1)求f(x)最大值
(2)试证明：当x∈(1/2,1]时,f(x)〈2x,当x∈[0,1/2]时f(x)≤1/2*f(2x)
答
1、设0≤x1≤x2≤1,那么有f(x2)=f[x1+(x2-x1)]≥f(x1)+f(x2+x1)≥f(x1),则函数是单调递增函数,其最大值在x=1时取的,f(1)=1;
2、当x∈[0,1/2]时f(x)=0.5f(2x)≤1/[2*f(2x)],因为0≤f(2x)≤1,则f(2x)≤1/f(2x)；
当x∈(1/2,1]时,1＜2x≤2,而f(x)≤1,那么f(x)≤1＜2x≤2.