已知a＞0，a≠1，数列{an}是首项为a，公比也为a的等比数列，令bn=anlgan（n∈N*）（Ⅰ）求数列{bn}的前n项和Sn；（Ⅱ）当数列{bn}中的每一项总小于它后面的项时，求a的取值范围．
问题描述：
已知a＞0，a≠1，数列{an}是首项为a，公比也为a的等比数列，令bn=anlgan（n∈N*）
（Ⅰ）求数列{bn}的前n项和Sn；
（Ⅱ）当数列{bn}中的每一项总小于它后面的项时，求a的取值范围．
答
（Ⅰ）由题意知an=an，bn=nanlga．
∴Sn=（1•a+2•a2+3•a3+…+n•an）lga．
∴aSn=（1•a2+2•a3+3•a4+…+n•an+1）lga．
以上两式相减得（1-a）Sn=（a+a2+a3+…+an-n•an+1）lga=[
−n•an+1]lga．a(1−an) 1−a
∵a≠1，∴Sn＝
[1−(1+n−na)an]．alga (1−a)2
（Ⅱ）由bn＜bn+1⇒nlga•an＜（n+1）lga•an+1⇒lga•an[n-（n+1）a]＜0，
∵an＞0，
∴lga[n（a-1）+a]＞0．①
（1）若a＞1，则lga＞0，n（a-1）+a＞0，故a＞1时，不等式①成立；
（2）若0＜a＜1，则lga＜0，不等式①成立⇔n（a-1）+a＜0，∴0＜a＜
．n n+1
综合（1）、（2）得a的取值范围为a＞1或0＜a＜
．n n+1
答案解析：（1）先求出数列{an}以及数列{bn}的通项，再对数列{bn}利用错位相减法求前n项和Sn．
（2）利用条件得到关于n和a的不等式，分0＜a＜1和a＞1两种情况分别解不等式即可．
考试点：等比数列的性质．
知识点：本题考查等差数列的通项，考查数列求和，考查解不等式，考查分类讨论的数学思想，确定数列的解析式是关键．