在△ABC中,∠C=90°,a、b、c分别为三角形三边,a-b=2,b:c=3:5,且方程x的平方-2（k+1)x+k的平方+12=0两实数根的平方和是△ABC斜边的平方,求k的值

由题意可以先求出三角形的三边：分别是a=8，b=6，c=10
其次得到关于k的方程：k的平方+4k-60=0
得到k=6或-10

a-b=2 a=b+2
b:c=3:5 c=5b/3
a^2+b^2=c^2 (b+2)^2+b^2=(5b/3)^2 b=6或b=-6/7 （舍去）
a=8 b=6 c=10
x^2-2(k+1)x+k^2+12=0 有两实数根 {-2(k+1)}^2-4(k^2+12)≥0 k≥5.5
x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1x2=4(k+1)^2-2(k^2+12)=100 k=-10或k=6
k=6

k【一定】

b:c=3:5
a²+b² = c²
===> a/b = 4/3
a-b=2
解得 a = 8 b=6
∴c=10
设方程两根为m,n
由韦达定理(根与系数的关系)
mn = k² + 12 【题目应该是 k² + 12】
m+n = 2(k+1)
由题意
c² = m²+n²
= (m+n)² - 2mn
= 4(k+1)² - 2(k² + 12)
= 2k² + 8k - 20
= 100
解得 k = -10 或 k=6
Δ = 4(k+1)² - 4(k² +12) = 8k - 44
k = -10 时，Δ∴ k = 6

由b：c=3:5 a^2+b^2=c^2,得c^2=25/16a^2进一步可以推出a：b=4:3结合a-b=2,得a=8故c^2=25/16a^2=100x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1x2=4(k+1)^2-2(k^2+12)=100化简,得k^2+4k-60=0解之得k=-10或k=6