在Rt△ABC中,∠C=90°,斜边C=5,两直角边的长a,b是关于x的一元二次方程x2-mx+2m-2=0的两根. (1)求m的值(2)求△ABC的面积(3)求较小锐角的正弦值.
问题描述:
在Rt△ABC中,∠C=90°,斜边C=5,两直角边的长a,b是关于x的一元二次方程x2-mx+2m-2=0的两根.
(1)求m的值(2)求△ABC的面积(3)求较小锐角的正弦值.
答
(1)∵a,b是方程x2-mx+2m-2=0的解,
∴a+b=m,ab=2m-2,
在Rt△ABC中,由勾股定理得,a2+b2=c2,
而a2+b2=(a+b)2-2ab,∵c=5,
∴a2+b2=(a+b)2-2ab=25,
即:m2-2(2m-2)=25,解得,m1=7,m2=-3,
∵a,b是Rt△ABC的两条直角边的长.
∴a+b=m>0,m=-3不合题意,舍去.
∴m=7,
(2)△ABC的面积=
ab,1 2
∵a+b=m=7,a2+b2=(a+b)2-2ab=25,解得:ab=12,
故)△ABC的面积=
ab=1 2
×12=6;1 2
另∵m=7,a,b是方程的两个根,
∴ab=
=12,2m−2 1
∴△ABC的面积=
ab=1 2
×12=6;1 2
(3)当m=7时,原方程为x2-7x+12=0,
解得,x1=3,x2=4,
不妨设a=3,则sinA=
=a c
,3 5
∴Rt△ABC中较小锐角的正弦值为
.3 5