在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为△ABC的三边，已知a-b=2，b：c=3：5，且方程x2-2（k+1）x+k2-12=0两实根的平方和是△ABC斜边的平方，求k的值．
问题描述：
在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为△ABC的三边，已知a-b=2，b：c=3：5，且方程x2-2（k+1）x+k2-12=0两实根的平方和是△ABC斜边的平方，求k的值．
答
在△ABC中，∵∠C=90°，a-b=2，b：c=3：5，
∴设b=3k，则c=5k，
∴a=
=4k，
c2−b2
又∵a-b=2，
∴4k-3k=2，
解得k=2，
∴c=10．
不妨设原方程的两根为x1，x2，
由根与系数的关系得x1+x2=2（k+1），x1x2=k2-12，
∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=4（k+1）2-2（k2-12）=2k2+8k+28，
由已知有：x12+x22=102，
∴2k2+8k+28=102=100，
解这个方程得k1=-2+2
，k2=-2-2
10
，
10
又∵方程有两个实数根，
∴△=4（k+1）2-4（k2-12）≥0，
∴k≥-6.5，
∴k=-2+2
．
10