已知：f（x）=-sin2x+sinx+a（Ⅰ）当f（x）=0有实数解时，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若x∈R恒有1≤f(x)≤174成立，求实数a的取值范围．
问题描述：
已知：f（x）=-sin2x+sinx+a
（Ⅰ）当f（x）=0有实数解时，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若x∈R恒有1≤f(x)≤
成立，求实数a的取值范围． 17 4
答
知识点：本题考查三角函数的最值，函数的恒成立问题，以及正弦函数的有界性，得到
是解题的难点．
（1）因为f（x）=0，即a＝sin2x−sinx＝(sinx−
)2−1 2
，a的最大值等于(−1−1 4
)2 −1 2
=2，1 4
a的最小值等于-
，所以，a∈[−1 4
，2]．1 4
（2）f（x）=-sin2x+sinx+a=−(sinx−
)2+1 2
+a，∴f(x)∈[−2+a，1 4
+a]，1 4
又∵1≤f(x)≤
恒成立，∴17 4
，∴3≤a≤4．
1≤−2+a
+a≤1 4
17 4
所以，实数a的取值范围是[3，4]．
答案解析：（1） 利用二次函数的性质及正弦函数的值域求出a的最大值和a的最小值，即得实数a的取值范围．
（2）f（x）配方后结合正弦函数的值域，求出f(x)∈[−2+a，
+a]，再根据1≤f(x)≤1 4
恒成立，17 4
得到
，从而得到实数a的取值范围．
1≤−2+a
+a≤1 4
17 4
考试点：三角函数的最值；函数恒成立问题；函数与方程的综合运用．
知识点：本题考查三角函数的最值，函数的恒成立问题，以及正弦函数的有界性，得到
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