已知f(log2x)=x2−2x+4,x∈[2,4](1)求f(x)的解析式及定义域;(2)若方程f(x)=a有实数根,求实数a的取值范围.

问题描述:

已知f(log2x)=x2−2x+4,x∈[2,4]
(1)求f(x)的解析式及定义域;
(2)若方程f(x)=a有实数根,求实数a的取值范围.

(1)令t=log2x,则x=2t,∵x∈[2,4]∴t∈[1,2]由f(log2x)=x2−2x+4得f(t)=(2t)2-2•2t+4=22t-2t+1+4,t∈[1,2]∴f(x)=22x-2x+1+4,x∈[1,2](2)∵f(x)=(2x-1)2+3,x∈[1,2]故当x=1时,函数f(x)...
答案解析:(1)令t=log2x,利用换元法,可求出f(x)的解析式,进而将x反表示为x=2t,结合x∈[2,4],求出中间元t的取值范围,即为f(x)的定义域;
(2)根据(1)中函数的解析式,结合二次函数的图象和性质及指数函数的图象和性质,求出函数f(x)值域,可得方程f(x)=a有实数根时,实数a的取值范围.
考试点:函数解析式的求解及常用方法;函数的定义域及其求法;函数的零点.


知识点:本题考查的知识点是函数解析式的求解及常用方法,函数的定义域及其求法,函数的零点,熟练掌握换元法求解析式的方法与步骤是解答的关键.