根据函数单调性的定义，证明函数f （x）=-x3+1在（-∞，+∞）上是减函数．
问题描述：
根据函数单调性的定义，证明函数f （x）=-x3+1在（-∞，+∞）上是减函数．
答
证明：证法一：在（-∞，+∞）上任取x1，x2且x1＜x2
则f（x2）-f（x1）=x13-x23=（x1-x2）（x12+x1x2+x22）
∵x1＜x2，
∴x1-x2＜0．
当x1x2＜0时，有x12+x1x2+x22=（x1+x2）2-x1x2＞0；
当x1x2≥0时，有x12+x1x2+x22＞0；
∴f（x2）-f（x1）=（x1-x2）（x12+x1x2+x22）＜0．
即f（x2）＜f（x1）
所以，函数f（x）=-x3+1在（-∞，+∞）上是减函数．
证法二：在（-∞，+∞）上任取x1，x2，且x1＜x2，
则f（x2）-f（x1）=x13-x23=（x1-x2）（x12+x1x2+x22）．
∵x1＜x2，
∴x1-x2＜0．
∵x1，x2不同时为零，
∴x12+x22＞0．
又∵x12+x22＞
（x12+x22）≥|x1x2|≥-x1x21 2
∴x12+x1x2+x22＞0，
∴f（x2）-f（x1）=（x1-x2）（x12+x1x2+x22）＜0．
即f（x2）＜f（x1）．
所以，函数f（x）=-x3+1在（-∞，+∞）上是减函数．
答案解析：利用原始的定义进行证明，在（-∞，+∞）上任取x1，x2且x1＜x2，只要证f（x2）＜f（x1）就可以可，把x1和x2分别代入函数f （x）=-x3+1进行证明．
考试点：函数单调性的判断与证明．
知识点：此题主要考查函数的单调性，解题的关键是利用原始定义进行证明，是一道基础题．