已知f（x）=（2x²+a）/X且f（1）=3 （1）试求a的值,（2）用定义证明函数f（X）在【二分之根号2,正）上单调递增,（3）设关于X的方程f（x）=x+b的两根为x1,x2,试问是否存在实数t,使得 不等式2m²-tm+4≥｜x1-x2｜对任意的b属于【2,根号13】及m属于【1/2,2]恒成立?若存在求出t的取值范围,若不存在说明理由
问题描述：
已知f（x）=（2x²+a）/X且f（1）=3 （1）试求a的值,（2）用定义证明函数f（X）在【二分之根号2,正
）上单调递增,（3）设关于X的方程f（x）=x+b的两根为x1,x2,试问是否存在实数t,使得 不等式2m²-tm+4≥｜x1-x2｜对任意的b属于【2,根号13】及m属于【1/2,2]恒成立?若存在求出t的取值范围,若不存在说明理由
答
1）a=1 简单
2）令x1>x2>√2/2,f(x1)-f(x2)=(2x1x2-1)(x1-x2)/x1x2(做差通分,简单）
2x1x2-1>0,则f(x1)-f(x2)>0,单调递增
3)f（x）=x+b,则函数）（2x²+2）/x=x+b,化简：x^2-bx+2=0
｜x1-x2｜=√(x1+x2)^2-4x1x2=√b^2-4 b属于【2,根号13】,最大为3
2m²-tm+4≥｜x1-x2｜对任意的b属于【2,根号13】及m属于【1/2,2]恒成立,则只需m属于【1/2,2]时,2m²-tm+4≥√13-4=3即可
抛物线y=2m²-tm+4分类讨论,对称轴m=t/4
当t/4《1/2时,函数在【1/2,2]单调递增,在m=1/2取得最小值,则只需要最小值大于等于3 即可,即1/2-t/2+4》3,即t《3,结合t《2
取t《2.
当2>t/4>1/2时,即8>t>2函数最小值为顶点为：-t^2/8+4,只要最小值-t^2/8+4》3
解得：-2√2《t《2√2,取2