设△ABC的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且acosB-bcosA=2c. (Ⅰ)求证:tanA=-3tanB; (Ⅱ)求角C的最大值.

问题描述:

设△ABC的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且acosB-bcosA=2c.
(Ⅰ)求证:tanA=-3tanB;
(Ⅱ)求角C的最大值.

(Ⅰ)在△ABC中,由正弦定理及acosB-bcosA=2c,(2分)
可得sinAcosB-sinBcosA=2sinC=2sin(A+B)=2sinAcosB+2cosAsinB
∴sinAcosB=-3cosAsinB,故tanA=-3tanB;                      (4分)
(Ⅱ)由tanA=-3tanB,可知在A,B中必一个是钝角,另一个是锐角;     (6分)
假设B是钝角,则acosB-bcosA=2c<0,与已知矛盾,故B必是锐角,A是钝角,
∵A+B+C=π,
故tanC=-tan(A+B)=

tanA+tanB
tanAtanB−1

将tanA=-3tanB代入,得tanC=
2
1
tanB
+3tanB
3
3
,(8分)
故C≤
π
6
,当且仅当3tanB=
1
tanB
,即tanB=
3
3
时等号成立,此时tanA=-
3

也即当A=
3
,B=
π
6
时,C取得最大值
π
6
.                           (12分)