设A为n阶方阵，证明：如果A2=E，则秩（A+E）+秩（A-E）=n．
问题描述：
设A为n阶方阵，证明：如果A2=E，则秩（A+E）+秩（A-E）=n．
答
知识点：此题考查矩阵乘法的秩的性质的运用，要证明=n，可以证明≥n且≤n．
证明：因为 A2=E，所以 0=（A-E）（A+E）
所以 0=r（（A+E）（A-E））≥r（A+E）+r（A-E）-n
所以 r（A+E）+r（A-E）≤n
又因为 r（A+E）+r（A-E）=r（A+E）+r（E-A）≥r（A+E+E-A）=r（2E）=n
所以 r（A+E）+r（A-E）=n．
答案解析：由于要证的问题中含有A+E和A-E，因此先将A2=E进行分解，根据“r（A）+r（B）-n≤r（AB）≤min{r（A），r（B）}”可以证明．
考试点：矩阵的秩的性质．
知识点：此题考查矩阵乘法的秩的性质的运用，要证明=n，可以证明≥n且≤n．