设三阶矩阵A满足A2=E（E为单位矩阵），但A≠±E，试证明：（秩（A-E）-1）（秩（A+E）-1）=0．
问题描述：
设三阶矩阵A满足A2=E（E为单位矩阵），但A≠±E，试证明：（秩（A-E）-1）（秩（A+E）-1）=0．
答
证明：∵A2=E
∴0=（A-E）（A+E）
∴0=r（（A+E）（A-E））≥r（A+E）+r（A-E）-3
∴r（A+E）+r（A-E）≤3
而 r（A+E）+r（A-E）=r（A+E）+r（E-A）≥r（A+E+E-A）=r（2E）=3
∴r（A+E）+r（A-E）=3．
又因为 A≠±E，
∴r（A+E）≠0，r（A-E）≠0
∴r（A+E），r（A-E）中有一个为1
∴（秩（A-E）-1）（秩（A+E）-1）=0．