设A为n级矩阵,且A²=E,则秩(A+E)+秩(A-E)=n
问题描述:
设A为n级矩阵,且A²=E,则秩(A+E)+秩(A-E)=n
答
由A²=E,得A²-E=0,则(A+E)(A-E)=0,且显然A是满秩矩阵
设A+E的秩为r,则(A+E)X=0的解空间是n-r维空间,因此A-E的秩不超过n-r,
即秩(A+E)+秩(A-E)=秩(A+E+A-E)=秩(2A)=n
因此秩(A+E)+秩(A-E)=n