已知函数f(x)=loga(3-ax). (1)当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围; (2)是否存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1?如果存在

问题描述:

已知函数f(x)=loga(3-ax).
(1)当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围;
(2)是否存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1?如果存在,试求出a的值;如果不存在,请说明理由.

(1)由题设,3-ax>0对一切x∈[0,2]恒成立,a>0且a≠1,…(2分)
∵a>0,∴g(x)=3-ax在[0,2]上为减函数,…(4分)
从而g(2)=3-2a>0,
a<

3
2

∴a的取值范围为(0,1)∪(1,
3
2
)
.…(6分)
(2)假设存在这样的实数a,由题设知f(1)=1,
即loga(3-a)=1,∴a=
3
2

此时f(x)=log
3
2
(3−
3
2
x)
,…(10分)
当x=2时,f(x)没有意义,故这样的实数不存在.…(12分)