已知f(x)=2x3+ax与g(x)=bx2+c的图象都过点P(2,0),且在点P处有公共切线,求f(x),g(x)的表达式.
问题描述:
已知f(x)=2x3+ax与g(x)=bx2+c的图象都过点P(2,0),且在点P处有公共切线,求f(x),g(x)的表达式.
答
∵函数f(x)=2x3+ax的图象经过点P(2,0)
∴f(2)=2×23+2a=0
∴a=-8
∴f(x)=2x3-8x
∴f′(x)=6x2-8
∴点P处的切线斜率k=f′(2)=6×22-8=16
∵g′(x)=2bx,两函数图象在点P处有公切线
∴g′(2)=4b=16
∴b=4
∵g(x)=bx2+c的图象都过点P(2,0),
∴g(2)=16+c=0
∴c=-16
∴g(x)=4x2-16
∴f(x)=2x3-8x,g(x)=4x2-16