过椭圆x^2+2y^2=4的左焦点左倾斜角为30度的直线,交椭圆于A,B两点,则弦长AB=
问题描述：
过椭圆x^2+2y^2=4的左焦点左倾斜角为30度的直线,交椭圆于A,B两点,则弦长AB=
答
标准方程为：x²/4+y²/2=1
c²=a²-b²=2
所以,左焦点F1(-√2,0)
所以,AB：y=(√3/3)(x+√2)
令A(x1,y1),B(x2,y2)
AB²=(x1-x2)²+(y1-y2)²
因为A,B在直线y=(√3/3)(x+√2)上,所以：y1=(√3/3)(x1+√2),y2=(√3/3)(x2+√2)
则：y1-y2=(√3/3)(x1-x2)
所以,AB²=(4/3)(x1-x2)²
y=(√3/3)(x+√2)
x²/4+y²/2=1
联列方程组,消去y,得：5x²/6+(2√2)x/3-4/3=0
x1+x2=-(4√2)/5,x1x2=-8/5
则：(x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1x2=64/25
所以,AB²=(4/3)(x1-x2)²=256/75
所以,弦长AB=(16√3)/15