已知:如图,点C为线段AB上一点,△ACM,△CBN都是等边三角形,AN交MC于点E,BM交CN于点F. (1)求证:AN=BM; (2)求证:△CEF为等边三角形.

问题描述:

已知:如图,点C为线段AB上一点,△ACM,△CBN都是等边三角形,AN交MC于点E,BM交CN于点F.

(1)求证:AN=BM;
(2)求证:△CEF为等边三角形.

证明:(1)∵△ACM,△CBN是等边三角形,
∴AC=MC,BC=NC,∠ACM=∠NCB=60°,
∴∠ACM+∠MCN=∠NCB+∠MCN,即∠ACN=∠MCB,
在△ACN和△MCB中,

AC=MC
∠ACN=∠MCB
NC=BC

∴△ACN≌△MCB(SAS),
∴AN=BM.
(2)∵△CAN≌△CMB,
∴∠CAN=∠CMB,
又∵∠MCF=180°-∠ACM-∠NCB=180°-60°-60°=60°,
∴∠MCF=∠ACE,
在△CAE和△CMF中,
∠CAE=∠CMF
CA=CM
∠ACE=∠MCF

∴△CAE≌△CMF(ASA),
∴CE=CF,
∴△CEF为等腰三角形,
又∵∠ECF=60°,
∴△CEF为等边三角形.