已知正项数列{an}满足a1=a(0＜a＜1＝,且an+1≤an/1+an.求证 an≤a/1+(n-1)a

1：设0y-y'=x/(x+1) - x'/(x'+1)
= [x(x'+1)-x'(x1)]/(x+1)(x'+1)
= (x-x')/(x+1)(x'+1),
因为x-x'>0, 所以y-y'>0,
所以函数y=x/x+1 在x＞0上是增函数；
2：
明显有anan+1≤an/1+an ≤ an-1/(1+an-1)(1+an) ≤ ... ≤ a1 / (1+a1)(1+a2)..(1+an) ≤ a1/(1+a1)^n-1 ≤ a/1+(n-1)a；

解:
a（n+1）倒数得
1/an+11/an+1-1/an当取等号时
(1/an}是等差数列,1/a1=1/a,d=1
1/an=1/a+(n-1)*1
an

注：小写字母表示下标。
由已知 An+1≤An/(1+An) 且{An}为正项数列
所以 对不等式两边取倒数 不等号变方向 化简为：
1/An+1-1/An>=1
由上式可依次列出：
1/A2-1/A1>=1
1/A3-1/A2>=1
1/A4-1/A3>=1
1/A5-1/A4>=1
........
........
1/An-1/An-1>=1
将以上（n-1)个式子相加可以得到：
1/An-1/A1>=n-1
1/An-1/a>=n-1
化简得：
An

多少是有点难度的，其实

an是正数
所以0=1
所以
1/an-1/a(n-1)>=1
1/a(n-1)-1/a(n-2)>=1
……
1/a2-1/a1>=1
相加
1/an-1/a1>=1*(n-1)
a1=a
所以1/an>=1/a+(n-1)=[1+a(n-1)]/a
an>0
所以a